考研数学复习随机变量之分布函数
2021-03-19 09:59
古代概率是研究随机事件，到了近代将随机事件给以数量标识就引入了随机变量.随机变量是近代研究概率的主要方法，也是我们考研的的重点.分布函数是这一版块的重要概念，考试多以客观题为主，考频很高，同学们一定要好好掌握！
首先，我们来看一下一维随机变量的分布函数：
一、 分布函数定义
1． 定义： F ( x )P{ Xx}, x ( , )
分布函数的定义非常重要，无论是随机变量还是随机变量的函数在关于分布函数的求解中一般都是从定义出发，因此同学必须记住该定义！
2.几何意义
分布函数的几何意义描述的是随机变量 X 落入区间 ( , x) 的概率，因此其本质是概率，
概率具有的性质，分布函数也有！
二、 分布函数性质
分布函数的四个性质是考试的热点，具体如下
（1）非负性： 0F x1 .
（2）规范性： F ()limF (x)0 ， F ()lim F (x)1.
xx
（3）单调不减性：对于任意 x1x2 ，有 F ( x1 )F ( x2 ) .
（4）右连续性：对于任意实数 x0 ，有 F ( x0 )lim F ( x )F ( x00) .
x →x0
其中，（1）-（4）为分布函数的充要条件.判定函数是不是分布函数就看这四个条件是否满足，这种考试题型在真题中以选择题的形式出现过，而性质（2）（4）则一般用于求分布函数中所得未知参数的问题，也是常考点！
三、 利用分布函数求各种随机事件的概率
利用分布函数求各种随机事件的概率也是我们要研究生是中经常考到的知识点，2010年数三选择题第七题就是直接考察这个知识点，整体来看，考试频率也比较高，所以同学们一定认真复习！
已知随机变量 X 的分布函数为 F ( x) ，则有
（1） P{ Xa}F ( a) ；
（2） P{ Xa}1 − P{ Xa}1 − F ( a) ；
（3） P{ Xa}lim F ( x )F ( a − 0) ；
x →a−
（4） P{ Xa}P{ Xa} − P{ Xa}F ( a ) − F ( a − 0) ；
（5） P aXbP Xb− P XaF (b ) − F ( a) ；
（6） P aXbP Xb− P XaF (b − 0) − F ( a − 0) ；
（7） P aXbP Xb− P XaF (b ) − F ( a − 0)
（8） P aXbP Xb− P XaF (b − 0) − F ( a) .
已知分布函数，求随机变量落入某个区间的概率就可以根据上面 8 个公式进行求解！所以这 8 个公式请同学们一定好好掌握，做到熟练应用！
另外，关于二维随机变量的分布函数我们只要弄清楚定义之后，在计算和求解方面完全是按照以上八个公式以及事件概率的运算求解的，类比一维随机变量分布函数的定义，接下来我们给出二维随机变量的分布函数的定义：
四、二维随机变量的分布函数
1.定义： F ( x，y )P{ Xx , Yy}, x , y ( , )
2.几何意义
y
(x,y)
O
x
分布函数的几何意义描述的是随机变量 ( X , Y ) 落入区域以 ( x , y) 为右上定点的矩形区
域内的概率，那么其本质也是概率，就拿 2020 年数一第 22 题的第一问来看，遇见这类题目同学们应该怎么做。
例：（2020，数一）设随机变量 X 1 , X 2 , X 3 相互独立，其中 X1 与 X 2 均服从标准正态分布， X 3 的概率分布为 P{ X 30}P{ X 31}12 ，YX 3 X 1(1 − X 3 ) X 2 .
求二维随机变量 ( X 1 , Y ) 的分布函数，结果用标准正态分布函数 ( x) 表示.【解析】 ( X 1 , Y ) 的分布函数
F ( x，y )P{ X 1x , Yy}P{ X 1x , Yy , X 30} P{ X 1x , Yy , X 31}
=P{ X 1x , X 2 y , X 30}P{ X 1x , X 1y , X 31}
=12 [ P{ X 1x , X 2 y}P{ X 1x , X 1y}]
当xy 时， F ( x，y)12 [ P{ X 1x}P{ X 2 y} P{ X 1x}]
=12 [( x )( y ) ( x)] ；
当xy 时， F ( x，y)12 [ P{ X 1x}P{ X 2 y} P{ X 1y}]
=12 [( x )( y ) ( y)] ；
1[( x )( y ) ( x )],xy 2
综上， F ( x，y) 1[( x )( y ) ( y )],xy2
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