考研经验分享，提前一年的押题——最大似然估计
2021-09-03 13:15:29
春节在家，百无聊赖，与小侄子玩牌，因为张老师还是个魔术爱好者，一手控牌技术出神入化，于是小侄子连续 5 把抽到的牌，都是一张红桃六，大叫着我搞了什么鬼，我问他，为什么不是巧合，小侄子一脸看弱智的表情反问"怎么可能"——我们每个人都有一个根植内心、不证自明的命*：小概率事件不发生，如果"发生"，必有隐情。
今天要给大家讲的，是统计学中的一个核心理念，也是考研数学中的一个核心考点，核心到，我起了个惊悚的标题"提前一年的押题——zui大似然估计"，因为自 09 年起，09、11、12、13、14、15、17、18、19、20 年考试中，均出现了本考点，就在试卷第 23 题，想必倒过来说大家更容易印象深刻，除了 10 年和 16 年，年年都考了。有同行玩笑，不会押题怎么办，就押zui大似然估计吧，反正十年八中。
什么叫zui大似然估计？举个例子吧。
有一个骰子，一面是 6 点，另外五面涂成 1 点，随机抛掷，向上的点数自然是一个离散型随机变量，要么取 1，要么取 6，那么概率分布如何呢？即，取 1 的概率和取 6 的概率应该是多少呢？不知道，设参数，分别记为1 −和吧（总概率当然是 1），接下来的任务就是猜一猜，参数多大，统计学内称为参数估计问题。zui大似然估计是一个估计参数的方法。
可能有读者觉得惊诧，这需要估计么？难道出现 6 的概率不是 16 吗？确实不能这么轻率，你怎么知道这个骰子没有动过手脚？就算没有老千赌王魔术师，骰子也未必质地均匀，总会有些许误差的。针对现实问题，没有一个"天然正确的结论"值得信赖，要做实验！假如，我假设一种极端情况，你投了 100 次骰子，前 99 次都是 6，zui后一次是 1，面对如此结果，
你还敢说，出现 6 的几率是 16 吗？直觉上就会否定，我再带领大家从数学上深化认识。
*一次出现 6 的概率是，第二次出现 6 的概率是，直到第 99 次出现 6 的概率都是，这个事情发生的总概率99 ，第 100 次正面点数出现了 1，概率是1 −，那么本组实验
结果的总概率是99 (1 −) ，如果你真的猜测 16 ，带进去算算，意味着一件概率 ( 16 )99 56 的事情发生了，大约 10 万亿亿亿亿亿亿亿亿亿分之一，你相信你会遇到概率这么小的事情吗？赶紧买彩票好不好。如果此刻仍有人坚持相信骰子没问题，出现 6 的概率就是 16 ，请保持你的纯真和耿直，但请远离数学，更要注意，春节期间，远离牌桌，免得被骗。
那么，究竟出现 6 的概率是是多少？怎么样估计才合理呢？一个很天然的直觉，当把这个的估测值带入99 (1 −) 时，结果不能太小，别说 10 万亿亿亿亿亿亿亿亿亿分之一，就是万分之一遇到了，我也觉得比较离谱，现实做实验发生的这件事，概率不会很小，我们希望，99 (1 −) 越大越好，越大，那个越是可能的估测值。而找99 (1 −) 的zui大值点，就是一个很简单的高等数学问题了：利用导数求函数zui值。以上这套估计参数的方法，叫zui大似然估计法，99 (1 −) ，叫似然函数，本方法的思想基础，就是 "小概率事件在有限次实验中不发生"，zui朴素的说法叫"这么离奇的事我不信"。
在给大家总结一下，考试时利用zui大似然估计法进行参数估计的解题步骤：1）写出似然函数；2）对似然函数取对数；3）求导；4）找到函数极值点，题目往往会有*一极值点，即为zui大似然估计值了。后面三个步骤，都是利用微积分求函数zui值的手段。当然，曾经有个别年份，似然函数不存在极值点，而是单调函数，需要具体问题具体分析，有着扎实的高数基础，并不难解决。
zui大似然估计是一个原理朴素、试题简单、考频又高的得分点，堪称送分大礼包，希望同学能够清晰理解、勤加练习，在明年的考研中，稳稳地把礼包收入囊中。
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